摘要：大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的性能很大程度上取決于柔性鉸鏈的性能。同樣構(gòu)型的柔性鉸鏈，行程越大其離軸剛度越低，從而導(dǎo)致大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)整體的靜剛度和精度下降。討論了Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)運動學(xué)逆解的求解，包括每個支鏈的伸縮的長度以及每個鉸鏈的轉(zhuǎn)動角度的求解。在此基礎(chǔ)上討論了大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，使得滿足動平臺運動空間要求的前提下各個鉸鏈的行程要求最小，并針對設(shè)計中的大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化設(shè)計。

引言

光學(xué)系統(tǒng)在光學(xué)顯微鏡、半導(dǎo)體生產(chǎn)和空間探測等超精密工程領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用［１］。為了保證光路的準(zhǔn)確性，光學(xué)元器件不但需要有很高的面形精度，而且需要精密的定位系統(tǒng)。以大口徑空間望遠(yuǎn)鏡的子鏡拼接為例，在戈達(dá)德太空飛行中心研制的太空球面光學(xué)望遠(yuǎn)鏡主鏡［２］（ＳＰＯＴ）直徑３．５ｍ，由６個對角線長０．８６ｍ的六角形子鏡環(huán)狀排列組成，中心無鏡面。每個子鏡都有傾斜、翻轉(zhuǎn)和移動的自由度，ＳＰＯＴ對每個子鏡的定位精度提出了很高的要求：鏡面法向移動范圍目標(biāo)值±５ｍｍ、最小值±１ｍｍ，鏡面法向移動分辨率目標(biāo)值＜１０ｎｍ、最低值２０ｎｍ。鏡面翻轉(zhuǎn)范圍±２°，鏡面翻轉(zhuǎn)分辨率≤０．０５ａｒｃｓｅｃ。

傳統(tǒng)的光學(xué)元器件精密定位并聯(lián)機(jī)器人使用的是球鉸、萬向鉸鏈等傳統(tǒng)的運動副作為活動關(guān)節(jié)，會引入摩擦、回程間隙和爬行等問題極大地影響并聯(lián)機(jī)器人的精度。為了克服使用傳統(tǒng)運動副引起的上述問題、減小并聯(lián)機(jī)構(gòu)的精度損失，柔性鉸鏈被用來作為新型并聯(lián)機(jī)器人［３－５］的運動副。柔性鉸鏈具有結(jié)構(gòu)簡單、無摩擦和精度高等優(yōu)點，能夠使系統(tǒng)得到很高的精度和分辨率。然而，由于柔性鉸鏈的變形量有限，傳統(tǒng)的全柔性鉸鏈的并聯(lián)機(jī)器人的工作空間都很小，多在立方微米級。在一些需要較大行程的應(yīng)用中往往需要兩級運動機(jī)構(gòu)的疊加，其中一級提供較大范圍的運動，另一級為微位移的柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)。這樣的結(jié)構(gòu)增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性，提高了系統(tǒng)成本。為了使得柔性鉸鏈并聯(lián)機(jī)器人能夠在立方厘米級的工作空間得到應(yīng)用，近年來又開發(fā)了大行程的柔性并聯(lián)機(jī)器人，如Ｋａｎｇ　Ｄ等人［１］以光學(xué)精密定位為背景研制了一種新型的大行程柔性鉸鏈并聯(lián)機(jī)器人，該六自由度的機(jī)器人工作空間±２ｍｍ＊±２ｍｍ＊±２ｍｍ＊±２°＊±２°＊±２°，移動分辨率達(dá)到１５ｎｍ，轉(zhuǎn)動分辨率為０．１４ａｒｃｓｅｃ。Ｔａｎｇ等人［６］設(shè)計并測試了具有ＸＹＺ３個自由度的柔性并聯(lián)機(jī)器人，３個方向的運動相互解耦，行程達(dá)到２．３ｍｍ。經(jīng)過測試，其橫軸誤差小于１．９％，移動引起轉(zhuǎn)角小于１．５ｍｒａｄ。

以光學(xué)元器件的精密定位為應(yīng)用背景，研究大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法。柔性鉸鏈的性能很大程度上決定了大行程柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的性能。同樣構(gòu)型的柔性鉸鏈，行程越大其離軸剛度越低，從而導(dǎo)致大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)整體的靜剛度和精度下降。以滿足動平臺工作空間要求前提下柔性鉸鏈的變形量最小為優(yōu)化目標(biāo)，優(yōu)化設(shè)計大行程全柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

１　運動學(xué)逆解

１．１　參數(shù)設(shè)定

為了簡化研究，建立柔性鉸鏈Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的偽剛體模型。將支桿與動平臺之間的柔性鉸鏈假設(shè)為帶轉(zhuǎn)動剛度的球鉸，支桿與動平臺之間的柔性鉸鏈假設(shè)為帶轉(zhuǎn)動剛度的萬向鉸，移動關(guān)節(jié)包括直線致動器與柔性直線導(dǎo)向機(jī)構(gòu)。簡化Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)如圖１所示。上方的平臺為動平臺，下方的平臺為定平臺。為了方便分析，按圖１所示建立定平臺上的坐標(biāo)系Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）、動平臺上的坐標(biāo)系Ｂ（Ｕ，Ｖ，Ｗ）及分別對各支鏈ｉ建立用ＤＨ方法建立坐標(biāo)系（ｒｉ－ｊ，ｓｉ－ｊ，ｔｉ－ｊ），其中，ｊ＝０，１，２…６。坐標(biāo)系（ｒｉ－０，ｓｉ－０，ｔｉ－０）與坐標(biāo)系（ｒｉ－６，ｓｉ－６，ｔｉ－６）分別與坐標(biāo)系Ａ，Ｂ相對固定，ｔｉ－０方向為初始狀態(tài)下ｒｉ－０與Ｚ軸叉乘乘積方向：ｔｉ－０＝ｒｉ－０×ｚ‖ｒｉ－０×ｚ‖（１）支鏈ｉ的ＤＨ參數(shù)如表１所示?！?br />

　ｌ為連桿兩端關(guān)節(jié)運動副軸線之間的公垂線長度；α為連桿兩端的關(guān)節(jié)軸線在該連桿長度的法平面內(nèi)投影的夾角；ｄ為相鄰連桿的距離；θ為相鄰連桿的夾角。初始狀態(tài)時各關(guān)節(jié)參數(shù)為［０°，－９０°，ｄｉ０，－９０°，－９０°，０°］，ｄｉ０為初始狀態(tài)的支鏈長度。代入ＤＨ矩陣的計算公式，分別計算得到各連桿的齊次變換矩陣ｋＡｉｌ（支鏈ｉ中ｌ坐標(biāo)系在ｋ坐標(biāo)系中的表示）。

１．２　求解柔性鉸鏈轉(zhuǎn)角

求解關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角的過程類似于六自由度的串聯(lián)型機(jī)械臂求逆解的過程。將ｋＡｉｌ中的旋轉(zhuǎn)陣用ｋＲｉｌ表示，ＡＡＢ表示動平臺相對于定平臺的齊次變換矩陣。ｉ支鏈桿長方向與ｔｉ－２方向相同：

考慮到θｉ－２的初始位置姿態(tài)值為－９０°且柔性機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角均較小。因此，有－π≤θｉ－２≤０?？梢郧蟮茫?br />

與動平臺相對固定的向量ｔｉ－６在坐標(biāo)系Ｂ中表示為Ｂｔｉ－６，下式中Ｂｉ０表示初始位置姿態(tài)時點Ｂｉ在Ａ坐標(biāo)系的坐標(biāo)。

可以用上面的結(jié)果表示支鏈ｉ整體的旋轉(zhuǎn)矩陣ＡＲｉ６＝［ｒｉ－６，ｓｉ－６，ｔｉ－６］。


由上式可以得到
Ｒｉ０＝［ｒｉ－０，ｓｉ－０，ｔｉ－０］，
即可求得６　Ｒｉ０。
同時也由各個關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)矩陣計算支鏈ｉ整體的旋轉(zhuǎn)矩陣為：
０Ｒｉ６＝０Ｒｉ１１?。遥椋玻病。遥椋常场。遥椋矗础。遥椋担怠。遥椋叮ǎ梗埃遥椋部捎?theta;ｉ－１，θｉ－２求得。將已知的旋轉(zhuǎn)陣移至上述等式的左側(cè)得：２?。遥椋裕常埃遥椋裕玻埃遥椋叮剑场。遥椋矗础。遥椋担怠。遥椋叮ǎ保埃┥鲜阶髠?cè)所有的矩陣均已知，將左邊矩陣相乘的結(jié)果表示為２　ＲｉＴ３０ＲｉＴ２０Ｒｉ６＝［ｒｉ，ｓｉ，ｔｉ］。右側(cè)矩陣相乘得到３?。遥椋矗础。遥椋担怠。遥椋?。采用與之前求解θｉ－１，θｉ－２同樣的方法求解θｉ－４，θｉ－５，結(jié)果如下：

求解時考慮到θｉ－５的初始位置姿態(tài)值為－９０°，柔性機(jī)器人關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角均較小，?。?pi;≤θｉ－５≤０。至此，支鏈ｉ的各關(guān)節(jié)運動量均已求得，可以得到相對于初始位置各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動的角度或移動量為：

２?。龋澹幔穑铮鋮?shù)優(yōu)化

２．１　設(shè)計參數(shù)與要求為了方便探討，選取初始位置下對稱的Ｈｅｘａｐｏｄ類型，Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的俯視圖及參數(shù)定義如圖２所示，

圖中的坐標(biāo)系為定平臺的坐標(biāo)系Ａ（ｘ，ｙ，ｚ）。定義定平臺上所有Ａｉ所在的圓的半徑為Ｒ，動平臺上所有Ｂｉ所在圓的半徑為ｒ，Ａ１與中心點Ｏ連線與Ｙ軸的夾角為α，Ｂ５與中心點Ｏ連線與Ｙ軸的夾角為β，初始狀態(tài)下動平臺與定平臺的距離為ｈ。Ａｉ，Ｂｉ在坐標(biāo)系Ａ中的坐標(biāo)分別是：Ａｉ＝（Ｒｃｏｓαｉ，Ｒｓｉｎαｉ，０）；Ｂｉ０＝（ｒｃｏｓβｉ，ｒｓｉｎβｉ，ｈ）Ｂｉ０為初始位置姿態(tài)時Ｂｉ點在Ａ坐標(biāo)系的坐標(biāo)。具體的αｉ，βｉ，分別用α，β表示為：設(shè)計時考慮到相鄰的Ａｉ及相鄰的Ｂｉ不會重復(fù)或者交叉，限定１０°≤α≤５０°，１０°≤β≤５０°?？紤]到實際的應(yīng)用背景和結(jié)構(gòu)的緊湊性，限定與動平臺相連的柔性球鉸中心所在圓的半徑１００ｍｍ≤ｒ≤２００ｍｍ，與定平臺相連的柔性萬向鉸中心所在圓的半徑１５０ｍｍ≤Ｒ≤２５０ｍｍ，初始狀態(tài)下定平臺與動平臺之間的高度１５０ｍｍ≤ｈ≤２５０ｍｍ。后面的優(yōu)化設(shè)計將在上述的范圍內(nèi)對參數(shù)Ｒ，ｒ，ｈ，α，β優(yōu)化設(shè)計，以獲取在滿足工作空間要求情況下使得所有柔性鉸鏈的變形范圍中的最大值最小的一組參數(shù)。Ｈｅｘａｐｏｄ動平臺沿Ｘ，Ｙ，Ｚ軸移動的范圍均為±５ｍｍ，繞Ｘ，Ｙ軸旋轉(zhuǎn)的角度范圍為±２°，繞Ｚ軸旋轉(zhuǎn)范圍不作要求。

２．２　平臺參數(shù)優(yōu)化計算

設(shè)計時取初始條件下各柔性鉸鏈的變形值為零，根據(jù)要求的工作空間得到動平臺的位置與姿態(tài)六維向量ｘｐ＝［ｐｘ，ｐｙ，ｐｚ］的取值范圍。對于給定的任意平臺參數(shù)，使動平臺在某一個軸向移動或轉(zhuǎn)動到極限位置。按照第１節(jié)推導(dǎo)的表達(dá)式計算柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)角，從中計算得每個支鏈的５個角度逆解，即３０個角度逆解值中的最大絕對值與最大移動絕對值加權(quán)求和。依次求取每個軸向２個極限位置即１０個極限位置（繞Ｚ軸的旋轉(zhuǎn)由于光學(xué)鏡面的定位中沒有要求故不予考慮，每個軸移動或轉(zhuǎn)動方向分別取正負(fù)最大值）的加權(quán)和，選擇其中最大的作為此平臺參數(shù)下需要的柔性鉸鏈變形量的表征，選擇使得該加權(quán)和最小的平臺參數(shù)，即為最優(yōu)化的平臺參數(shù)。

編寫Ｍａｔｌａｂ程序?qū)で笞顑?yōu)化的Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)參數(shù)基本的編程思路如下。

ａ．編寫求運動學(xué)逆解的函數(shù)ｉｎｖｅｒｓｅＫｉｎｅｍａｔｉｃｓ。函數(shù)的輸入為平臺參數(shù)（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β）及動平臺的位置與姿態(tài)六維向量ｘｐ＝［ｐｘ，ｐｙ，ｐｚ］，輸出為所有６個支鏈每個支鏈５個轉(zhuǎn)角逆解一個移動逆解，為６×６矩陣。

ｂ．編寫求柔性鉸鏈最大轉(zhuǎn)角絕對與最大移動絕對值的函數(shù)ｆｉｎｄＭａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ。函數(shù)的輸入為平臺參數(shù)（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β）及動平臺的位置與姿態(tài)六維向量ｘｐ＝［ｐｘ，ｐｙ，ｐｚ］，函數(shù)的輸出為對應(yīng)于該平臺參數(shù)及位姿條件的３０個柔性鉸鏈變形值中的最大絕對值及６個直線導(dǎo)向的柔性鉸鏈的變形值中的最大絕對值組成的向量。

ｃ．編寫滿足工作空間要求的柔性鉸鏈最大加權(quán)和計算函數(shù)ｍａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ。函數(shù)的輸入為平臺參數(shù)（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β），函數(shù)的輸出為最大轉(zhuǎn)角絕對值與最大移動絕對值加權(quán)和。利用函數(shù)ｆｉｎｄＭａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ求取各軸向極限位置時的柔性鉸鏈最大轉(zhuǎn)動值，從得到的１０個值中選取最大值作為輸出。

ｄ．將問題變?yōu)樽顑?yōu)化問題。目標(biāo)函數(shù)ｍｉｎｍａｘＤｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ（ｒ，Ｒ，ｈ，α，β）限制條件為：１０°≤α≤５０°
１０°≤β≤５０°
１００ｍｍ≤ｒ≤２００ｍｍ
１５０ｍｍ≤Ｒ≤２５０ｍｍ
１５０ｍｍ≤ｈ≤２５０ｍｍ

用Ｍａｔｌａｂ工具箱中的最優(yōu)化函數(shù)ｆｍｉｎｃｏｎ尋找限定條件下的最優(yōu)化解，將算法設(shè)置為“ｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔ”。設(shè)置不同的權(quán)重，得到局部最優(yōu)解的情況如表２所示。

從表２中可以看出，按照優(yōu)化時對最大轉(zhuǎn)角絕對值和最大移動絕對值分配權(quán)重的不同可以將Ｓｔｅｗａｒｔ平臺的設(shè)計參數(shù)分為３類：第１類使得轉(zhuǎn)動導(dǎo)向的柔性鉸鏈需求的運動范圍最??；第２類使得直線導(dǎo)向的柔性鉸鏈需求的運動范圍最??；第３類綜合最優(yōu)，使得整個平臺柔性教練的轉(zhuǎn)動角度和伸縮量都取得比較小的數(shù)值，但均不是最小值。設(shè)計時可以按照綜合最優(yōu)選取平臺參數(shù)，也可以按照某種鉸鏈的運動范圍要求最小進(jìn)行設(shè)計。

３　結(jié)束語

以柔性鉸鏈的要求變形值最小為優(yōu)化目標(biāo)，在滿足大行程柔性Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)工作空間要求的前提下進(jìn)行Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計。建立了大行程柔性Ｈｅｘａｐｏｄ的偽剛體模型的各支鏈坐標(biāo)系，求取了各支鏈各關(guān)節(jié)運動學(xué)逆解的解析表達(dá)式，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行了Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。從最后優(yōu)化設(shè)計實例的計算中可以看出，實際設(shè)計時，可以以某種柔性鉸鏈的變形量要求最小或兩種變形的加權(quán)和最小為設(shè)計目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計Ｈｅｘａｐｏｄ機(jī)構(gòu)的參數(shù)，也可以根據(jù)設(shè)計完成的兩種柔性鉸鏈能夠滿足整體的行程范圍要求，調(diào)整各自的權(quán)值使其滿足要求從而進(jìn)行Ｓｔｅｗａｒｔ平臺的參數(shù)配置。

大行程柔性鉸鏈Hexapod機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計.pdf 文檔下載