摘要：柔性鉸鏈在微機(jī)電領(lǐng)域得到了日益廣泛的應(yīng)用。該文提出了一種新型柔性鉸鏈：?jiǎn)芜呏眻A橢圓混合型柔性鉸鏈，以卡氏第二定理為理論基礎(chǔ)，推導(dǎo)了單邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈的柔度計(jì)算式。采用所得計(jì)算式對(duì)一組實(shí)例進(jìn)行柔度計(jì)算，同時(shí)對(duì)其進(jìn)行有限元分析，通過(guò)對(duì)比分析，驗(yàn)證了計(jì)算式的正確性。借助于推得的計(jì)算式， 分析了單邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈的各結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其柔度的影響。通過(guò)與雙邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈對(duì)比分析，得出了單邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)能力、對(duì)載荷的敏感性均優(yōu)于雙邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈，綜上所述，單邊混合柔性鉸鏈的提出為柔性鉸鏈在結(jié)構(gòu)緊湊、大位移場(chǎng)合的工程應(yīng)用提供了新的思路。

隨著微機(jī)電技術(shù)、宇航和生物工程等學(xué)科的快速發(fā)展，傳統(tǒng)的剛性機(jī)構(gòu)已不能滿足設(shè)計(jì)與使用要 求，柔性機(jī)構(gòu)以其具有體積小、無(wú)機(jī)械摩擦、無(wú)間隙、運(yùn)動(dòng)靈敏度高等優(yōu)點(diǎn)，在精密機(jī)械、機(jī)器人、計(jì)算機(jī)、自動(dòng)控制、精密測(cè)量等學(xué)科領(lǐng)域得到了廣 泛的應(yīng)用。

相對(duì)于傳統(tǒng)的剛性機(jī)構(gòu)，柔性鉸鏈?zhǔn)侨嵝詸C(jī)構(gòu)的關(guān)鍵所在，它利用彈性變形及其自回復(fù)的特性，消除了傳動(dòng)過(guò)程中的空程與機(jī)械摩擦，獲得了較高的位移分辨率。目前單軸柔性鉸鏈根據(jù)其截面形狀的不同可分為：圓弧型、導(dǎo)角型、橢圓型、拋物 線型、雙曲線型等，其中直圓型、導(dǎo)角型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，獲得了廣泛應(yīng)用，與導(dǎo)角型柔性鉸鏈比較而言，直圓型柔性鉸鏈運(yùn)動(dòng)范圍小、但精度高，為了綜合利用兩種鉸鏈的優(yōu)勢(shì)，文獻(xiàn)提出了直圓導(dǎo)角混合柔性鉸鏈，并采用有限元方法分析了其性能。但是，在某些柔性機(jī)構(gòu)中，由于空間的限制， 希望其結(jié)構(gòu)盡可能緊湊，又出現(xiàn)了單邊柔性鉸鏈，并在精密測(cè)量與精密定位領(lǐng)域獲得了廣泛的應(yīng)用。本文在前述基礎(chǔ)上，兼顧混合柔性鉸鏈 與單邊柔性鉸鏈的優(yōu)點(diǎn)，提出一種新型柔性鉸鏈：?jiǎn)芜吇旌先嵝糟q鏈，利用卡氏第二定理，導(dǎo)出其柔度計(jì)算式，采用有限元法對(duì)其進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)其性能進(jìn)行分析研究。

單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度計(jì)算

單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈?zhǔn)怯砂雮€(gè)單邊直圓鉸鏈、半個(gè)單邊橢圓鉸鏈組合而成，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。圖中R為直圓半徑、m為橢圓半長(zhǎng) 軸、n為橢圓半短軸、l為鉸鏈的長(zhǎng)度、t 為鉸鏈最小厚度。

柔性鉸鏈的分析是基于小變形懸臂梁假設(shè)，鉸鏈右端固定，彎曲變形是由力和彎矩產(chǎn)生的，考慮 軸向載荷的影響，而忽略剪切和扭轉(zhuǎn)的影響，受力分析如圖2所示。一般應(yīng)用單軸柔性鉸鏈在二維平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，對(duì)柔性鉸鏈左端施加載荷，如圖2所 示。通常用1點(diǎn)的位移來(lái)表征其柔度。

根據(jù)x-y 平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)特性，由卡式第二定理，可得柔性鉸鏈在1點(diǎn)的的變形量與載荷的關(guān)系為：

建立如圖1 所示坐標(biāo)系，則距固定端距離為x的截面處，鉸鏈厚度h(x)的表達(dá)式為： 由厚度表達(dá)式，將式(3)代入式(2)積分計(jì)算，再代入 式(1)，可求得單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，在積分計(jì)算過(guò)程中，各部分的積分變量選取如下：

柔度的實(shí)例計(jì)算及有限元驗(yàn)證

實(shí)例計(jì)算

實(shí)例1. 單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈如圖1所示， 其幾何參數(shù)為：鉸鏈寬度b=4mm，最小厚度t = 1mm，直圓半徑R=5mm，鉸鏈長(zhǎng)度l=10mm，橢圓 長(zhǎng)半軸m=5mm，短半軸n分別取n=2mm-n=5mm。 材料選用鈹青銅，彈性模量E=126GPa。計(jì)算橢圓取不同短半軸時(shí)該單邊混和柔性鉸鏈的柔度大小。采用文中推導(dǎo)的單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度計(jì)算式(4)-式(7)進(jìn)行求解，得到橢圓取不同短半軸所對(duì)應(yīng)的柔度大小，結(jié)果列于表1。由表1中數(shù)據(jù)可知，隨著橢圓短半軸的增大，該單邊混合柔性鉸鏈的柔度降低，當(dāng)n=5mm時(shí)，即成為單邊直圓柔性鉸鏈，可見(jiàn)單邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈的柔度優(yōu)于單邊直圓鉸鏈。

 

表1 柔度解析式計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果對(duì)比

短半軸	Cx-Fx /(×10-8m/N)			Cy-Fy (×10-7m/N)			Cy-Mz /(×10-4N-1)			C /(×10N)
n/mm	解析法	有限元法	誤差/(%)	解析法	有限元法	誤差/(%)	解析法	有限元法	誤差/(%)	解析法	有限元法	誤差/(%)
2	1.358	1.459	6.9	3.375	3.616	6.7	1.488	1.564	4.9	0.104	0.113	8.0
3	1.296	1.387	6.6	2.598	2.762	5.9	1.241	1.319	5.9	0.095	0.102	6.9
4	1.249	1.348	7.3	2.166	2.334	7.2	1.091	1.186	8.0	0.089	0.096	7.3
5	1.212	1.297	6.6	1.896	2.041	7.1	0.996	1.063	6.3	0.084	0.091	7.7

有限元分析

采用有限元法對(duì)上述柔度計(jì)算式進(jìn)行驗(yàn)證，在 Ansys 環(huán)境下，選取Shell63 單元類型(每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有6個(gè)自由度)，建立該柔性鉸鏈的有限元模型如圖3所示(n=2mm)。在鉸鏈的末端施加單位載荷， 即F1x =1N, F1y =1N, M1z =1N.m，得到圖2中1點(diǎn)的變形，從而得到其柔度值，有限元法的分析結(jié)果列于表1。

由表1中數(shù)據(jù)可知，采用文中推得的柔度計(jì)算式計(jì)算得到的結(jié)果與有限元的分析結(jié)果之間的誤差在8%以內(nèi)，由此驗(yàn)證了柔度計(jì)算式的正確性。

單邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈的性能分析

鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其柔度的影響

分析單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度計(jì)算式可知，柔性鉸鏈的柔度取決于鉸鏈的材料及其結(jié)構(gòu)參數(shù)。通過(guò)柔度計(jì)算式可直接得出：所有柔度參 數(shù)都與彈性模量E和鉸鏈的寬度b成反比；其他參數(shù)：包括直圓半徑R、橢圓半長(zhǎng)軸m、半短軸n、最小厚度t，其中取R=m，則需分析R、n、t 對(duì)柔度的影響，利用柔度與參數(shù)之間的關(guān)系函數(shù)進(jìn)行分析如下：圖4-圖6分別為柔度C₁, θ -M_z隨參數(shù)(R,n)、 (t,n)、(t,R)的變化關(guān)系圖形，其他柔度項(xiàng)與C₁,θ -M_z 具有相同的變化趨勢(shì)。

由圖4-圖6可得出：柔度隨直圓半徑R的增加而增大，隨橢圓半短軸n的增加而降低；柔度隨最小厚度t的減小而增大，而且變化呈現(xiàn)明顯的非線性；柔度隨t的變化遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于隨R、n的變化，即相對(duì)于R、n，該單邊混和柔性鉸鏈的最小厚度對(duì)其柔度的影響最顯著。

與雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的性能對(duì)比

單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈作為一種新型的柔性鉸鏈，為了進(jìn)一步分析其性能，將其與文獻(xiàn)中提出的雙邊直圓橢圓混合柔性鉸鏈進(jìn)行對(duì)比分析。柔度作為柔性鉸鏈一個(gè)最重要的性能指標(biāo)，在結(jié)構(gòu)參數(shù)相同的條件下，定義一個(gè)相對(duì)柔度比，記為C_r，則：
C_r=C_α/C_β               (8)
式中：C_α為直圓橢圓單邊混和柔性鉸鏈的柔度項(xiàng)； C_β為直圓橢圓雙邊混和柔性鉸鏈的柔度項(xiàng)。

結(jié)構(gòu)參數(shù)同實(shí)例1，其柔度計(jì)算結(jié)果列于表2，同時(shí)計(jì)算出單邊、雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的相對(duì)柔度比，列于表2。

由表2中數(shù)據(jù)可看出，隨著橢圓短半軸n的增大，柔度比呈增大趨勢(shì)。由Cr,x-F_x 得出，單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)能力要大于對(duì)應(yīng)的雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈，近似是雙邊柔性鉸鏈的1.37倍；由Cr,x-F_x 、Cr, y-Fy得出，單邊混和柔性鉸鏈對(duì)載荷的影響更為敏感，對(duì)軸向載荷的敏感程度提高20%。對(duì)縱向載荷的敏感性提高了1.2倍；而且，當(dāng)n=5mm時(shí)，變?yōu)閱芜呏眻A柔性鉸鏈、雙邊直圓柔性鉸鏈，可見(jiàn)單邊直圓柔性鉸鏈的柔度優(yōu)于雙邊直圓柔性鉸鏈。

 

表2 雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度與單、雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的相對(duì)柔度比

短半軸	Cx-Fx		Cy-Fy		Cy-Mz		Cθ-Mz
n/mm	解析解/(×10-8m/N)	Cr,x-Fx	解析解/(×10-7m/N)	Cr, y-Fy	解析解/(×10-5N-1)	Cr, y-Mz	解析解/(m-1N-1)	Cr,θ -Mz
2	1.1331	1.1986	1.6238	2.0785	8.6580	1.7186	0.0771	1.3506
3	1.0652	1.2169	1.1714	2.2179	6.9573	1.7838	0.0693	1.3709
4	1.0167	1.2285	0.9445	2.2933	6.0125	1.8147	0.0645	1.3798
5	0.9799	1.2369	0.8115	2.3364	5.4113	1.8404	0.0611	1.3748

結(jié)論

(1) 以卡氏第二定理為理論基礎(chǔ)，推導(dǎo)了單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的柔度計(jì)算式，采用推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行了實(shí)例計(jì)算，并利用有限元方法對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證分析。柔度計(jì)算式的計(jì)算結(jié)果與有限元分析結(jié)果之間的誤差小于8%，從而驗(yàn)證了柔度計(jì)算式的有效性。

(2) 借助于推導(dǎo)的柔度計(jì)算式，分析了柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)柔度的影響，得出鉸鏈柔度對(duì)其最小厚度的變化最為敏感。

(3) 定義相對(duì)柔度比，以此對(duì)單邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈與雙邊直圓橢圓混和柔性鉸鏈的性能進(jìn)行對(duì)比分析，得出單邊混合柔性鉸鏈具有更大的轉(zhuǎn)動(dòng)能力，而且對(duì)載荷的影響更為敏感。

綜上所述，單邊混和柔性鉸鏈作為一種新型的柔性鉸鏈為柔性鉸鏈在結(jié)構(gòu)緊湊、大位移場(chǎng)合的工程應(yīng)用提供了新的思路。