概要：以材料力學(xué)和微積分的相關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ), 推導(dǎo)了四種復(fù)合型柔性鉸鏈的彎曲剛度和拉伸、壓 縮剛度計(jì)算公式。以倒圓角直梁型柔性鉸鏈為例, 基于有限單元法驗(yàn)證所推導(dǎo)剛度計(jì)算公式的正確性。采用解析法對(duì)四種復(fù)合型柔性鉸鏈的剛度性能進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明, 橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈的彎曲剛度和拉伸剛度最小; 分別將其應(yīng)用于柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)結(jié)構(gòu)中, 采用有限單元法對(duì)各柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的剛度性能進(jìn)行對(duì)比分析, 結(jié)果表明, 由橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈構(gòu)成的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的變形補(bǔ)償能力最強(qiáng)。

引言

柔性鉸鏈常用于各種要求小角位移、高精度轉(zhuǎn)動(dòng)等場(chǎng)合, 工作時(shí)可消除傳動(dòng)過程中的空程和機(jī)械摩擦。按照結(jié)構(gòu)型式, 柔性鉸鏈可分為, 直梁型、圓弧型、橢圓型、倒圓角直梁型、拋物線型和雙曲線型。剛度是柔性鉸鏈最主要的性能指標(biāo)之一, 直接反 映了其抵抗外載的能力和運(yùn)動(dòng)副的柔性程度。Paros J M 和Weisbord L 于1965年推導(dǎo)出圓弧型柔性鉸鏈的剛度計(jì)算公式, 但該公式形式較復(fù)雜, 使用不便。文獻(xiàn)利用力學(xué)基本公式推導(dǎo)出比文獻(xiàn)給出的剛度計(jì)算公式更為簡(jiǎn)潔的表達(dá)式。由于柔性鉸鏈實(shí)際結(jié)構(gòu)的幾何尺寸不能完全滿足理論分析的假設(shè)條件, 為此許多文獻(xiàn)采用有限單元法對(duì)柔性鉸鏈的剛度性能進(jìn)行研究。

根據(jù)實(shí)際需要, 作者在倒圓角直梁型柔性鉸鏈的 基礎(chǔ)上, 提出三種新型復(fù)合型柔性鉸鏈: 橢圓直梁復(fù)合型、拋物線直梁復(fù)合型和雙曲線直梁復(fù)合型柔性鉸鏈。 本文中推導(dǎo)出四種復(fù)合型柔性鉸鏈的剛度計(jì)算公式, 并對(duì)該四種柔性鉸鏈的剛度性能進(jìn)行對(duì)比分析; 分別 將其應(yīng)用于柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)結(jié)構(gòu)中, 采用有限單元法 對(duì)各柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的剛度性能進(jìn)行對(duì)比分析。

1 剛度計(jì)算公式的建立

1.1 倒圓角直梁型和橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈剛度計(jì)算公式

倒圓角直梁型和橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈分別由圓弧型或橢圓型與直梁型柔性鉸鏈復(fù)合而成。其桿部截面均為矩形, 兩鉸鏈分別由4個(gè)垂直于端面的圓柱面或橢圓面與兩個(gè)矩形塊對(duì)稱切割而成。

如圖1所示為兩種復(fù)合型柔性鉸鏈的受力分析圖, 分析該圖可以看出: 力矩M_z使該兩種復(fù)合型柔性鉸鏈產(chǎn)生H角度的微小角位移, 力F_x使其產(chǎn)生沿軸的微小線位移&₁。

根據(jù)材料力學(xué)彎曲變形和高等數(shù)學(xué)微積分的相關(guān)知識(shí), 可推導(dǎo)出該兩種復(fù)合型柔性鉸鏈的彎曲剛度和拉伸/壓縮剛度計(jì)算公式。

倒圓角直梁型和橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈的彎曲剛度計(jì)算公式分別為




 

1. 2 拋物線和雙曲線直梁復(fù)合型柔性鉸鏈剛度計(jì)算公式

拋物線和雙曲線直梁復(fù)合型柔性鉸鏈分別由拋物線或雙曲線型與直梁型柔性鉸鏈復(fù)合而成。其桿部截面均為矩形, 兩鉸鏈分別由4個(gè)垂直于端面的拋物面或雙曲面與兩個(gè)矩形塊對(duì)稱切割而成。

如圖2 所示為兩種復(fù)合型柔性鉸鏈的受力分析圖, 分析該圖可以看出: 轉(zhuǎn)動(dòng)力矩使該兩種復(fù)合型柔性鉸鏈產(chǎn)生角度的微小角位移; 拉伸或壓縮力使其產(chǎn)生沿軸的微小線位移$l。

根據(jù)卡氏第二定理, 可推導(dǎo)出拋物線和雙曲線直梁復(fù)合型柔性鉸鏈的彎曲剛度計(jì)算公式分別為

同理, 可得出拋物線和雙曲線直梁復(fù)合型柔性鉸 鏈的拉伸/ 壓縮剛度計(jì)算公式分別為

以上各式中, b為寬度,mm; t為鉸鏈最小半厚度, mm; c為鉸鏈切割深度, mm; L₁為拋物線或雙曲線部分長(zhǎng)度, mm; L₂為直梁部分長(zhǎng)度, mm。

2 驗(yàn)證剛度計(jì)算公式的正確性

以倒圓角直梁型柔性鉸鏈為例, 基于有限單元法對(duì)所推導(dǎo)的剛度計(jì)算公式進(jìn)行驗(yàn)證。如表1所示為倒圓角直梁型柔性鉸鏈的三組結(jié)構(gòu)參數(shù)。由于實(shí)體單元只有移動(dòng)自由度, 不便于力矩的施加, 因此采用橫截面可連續(xù)變化的梁?jiǎn)卧⑷嵝糟q鏈的有限元模型。在左端固結(jié), 右端分別承受彎曲力矩或拉伸/壓縮力的邊界條件下, 得出各倒圓角直梁型柔性鉸鏈的彎曲剛度和拉伸/壓縮剛度計(jì)算結(jié)果如表2和表3所示。

 

表1 三組倒圓角直梁型柔性鉸鏈結(jié)構(gòu)參數(shù)

序號(hào)	b/mm	t/mm	R/mm	L/mm
1	0.3	0.2	0.4	0.5
2	0.8	0.6	1.2	1.0
3	1.6	1.2	2.4	2.5

表2 彎曲剛度計(jì)算結(jié)果

序號(hào)	解析解/ ( N.m/rad)	有限元解/ ( N.m/ rad)	相對(duì)誤差
1	0. 109 9	0. 109 866	0. 030 9%
2	0. 662 2	0. 662 251 7	0. 007 8%
3	28. 900	28. 902	0. 006 9%

表3 拉伸/ 壓縮剛度計(jì)算結(jié)果

序號(hào)	解析解/ ( N/ m)	有限元解/ (N/m)	相對(duì)誤差
1	2. 8444 × 107	2. 8409× 107	0. 1230%
2	2. 9008 × 107	2. 8986× 107	0. 0758%
3	2. 8357  × 108	2. 8329×108	0. 0987%

分析以上計(jì)算結(jié)果可以看出, 兩種計(jì)算方法的相對(duì)誤差小于0. 2% , 證明本文中所推導(dǎo)的倒圓角直梁 型柔性鉸鏈的剛度計(jì)算公式是正確的。

3 分析四種復(fù)合型柔性鉸鏈剛度大小

橢圓直梁復(fù)合型、拋物線直梁復(fù)合型和雙曲線直梁復(fù)合型柔性鉸鏈?zhǔn)窃诘箞A角直梁型柔性鉸鏈的基礎(chǔ)上, 提出的三種新型復(fù)合型柔性鉸鏈。為對(duì)四種復(fù)合型柔性鉸鏈的剛度性能對(duì)比分析, 保持其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)( 即直梁部分長(zhǎng)度、總長(zhǎng)度、鉸鏈寬度和最小厚度) 分別相同, 基于所推導(dǎo)的剛度計(jì)算公式分別計(jì)算各復(fù)合型柔性鉸鏈的彎曲剛度和拉伸剛度, 并將計(jì)算結(jié)果列于表4和表5。

 

表4 四種復(fù)合型柔性鉸鏈的彎曲剛度對(duì)比

序號(hào)	彎曲剛度/ ( N.m/ rad)
	橢圓直梁 復(fù)合型	倒圓角直梁 復(fù)合型	拋物線直梁 復(fù)合型	雙曲線直梁 復(fù)合型
1	0. 0066	0. 0069	0. 0520	0. 0571
2	0. 1974	0. 2138	1. 5543	1. 7407
3	1. 4179	1. 4890	11. 2027	12. 4540

 

表5 四種復(fù)合型柔性鉸鏈的拉伸剛度對(duì)比

序號(hào)	拉伸剛度/ (N/m)
	橢圓直梁 復(fù)合型	倒圓角直梁 復(fù)合型	拋物線直梁 復(fù)合型	雙曲線直梁 復(fù)合型
1	6. 2258 ×106	6. 4879 × 106	1. 21990 ×107	1. 2956 × 107
2	1. 9679 × 107	2. 1105 ×107	3. 83840 × 107	4. 0982 × 107
3	3. 6347 × 107	3. 8029 ×107	7. 10840 × 107	7. 5929 × 107

分析表4和表5可以看出: 與其他的柔性鉸鏈相比, 在同樣的尺寸規(guī)格條件下, 橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈的剛度最小, 即變形補(bǔ)償能力最強(qiáng)。

4 應(yīng)用實(shí)例

如圖3所示的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)是一種新型的柔性連接與傳動(dòng)結(jié)構(gòu), 其主要利用柔性鉸鏈實(shí)現(xiàn)承擔(dān)軸向拉壓的同時(shí)吸收彎曲和扭轉(zhuǎn)。此處的柔 性鉸鏈可以采用倒圓角直梁型、橢圓直梁復(fù)合型、拋物線直梁復(fù)合型及雙曲線直梁復(fù)合型柔性鉸鏈, 我們分別將以上4種復(fù)合型柔性鉸鏈應(yīng)用于該柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)結(jié)構(gòu)中, 并對(duì)其剛度性能進(jìn)行研究。 取柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的主要結(jié)構(gòu)尺寸為: 外徑D_o= 112mm, 內(nèi)徑D_i= 82mm, 總長(zhǎng)L_w = 216mm, 決定中間 環(huán)位置的參數(shù)L₃= 50mm; 為保持可比性, 使四種復(fù)合型柔性鉸鏈的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)分別相同, 即直梁部分長(zhǎng)度L2= 50mm, 總長(zhǎng)度L_H= 70mm, 寬度b= 5mm, 最小厚度t= 6mm。

由于柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)形狀不規(guī)則, 因此采用四面體結(jié)構(gòu)實(shí)體單元分別建立各柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的有限元模型。在左端固結(jié), 右端分別承受1mm的拉伸線位移、0. 01rad的彎曲和扭轉(zhuǎn)角位移的邊界條件下, 通過有限元數(shù)值求解得出如表6所示的各柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的拉伸剛度、彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算結(jié)果?？梢钥闯? 由橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈構(gòu)成的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的各剛度均小于同樣尺寸規(guī)格的由其他類型柔性鉸鏈構(gòu)成的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的各剛度, 說明在四種復(fù)合 型柔性鉸鏈中, 由橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈構(gòu)成的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的變形補(bǔ)償能力最強(qiáng)。

 

表6 四種柔性T 型聯(lián)結(jié)節(jié)剛度計(jì)算結(jié)果

類型	拉伸剛度 / (N/m)	彎曲剛度 / (N.m/rad)	扭轉(zhuǎn)剛度 / (N.m/rad)
由倒圓角直梁型柔性鉸鏈構(gòu)成 柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)	5340400	594. 22	9187. 3
由橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈構(gòu) 成柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)	5326800	590. 85	9061. 3
由拋物線直梁復(fù)合型柔性鉸鏈 構(gòu)成柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)	5410600	613. 03	9930. 1
由雙曲線直梁復(fù)合型柔性鉸鏈 構(gòu)成柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)	5457400	629. 82	10592. 0

5 結(jié)論

所研究的4 種復(fù)合型柔性鉸鏈作為新型的連接與傳動(dòng)部件, 在微米級(jí)領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。通過本文的研究, 可以得出如下結(jié)論:

(1) 倒圓角直梁型柔性鉸鏈各剛度解析解與有限元解吻合較好, 證明本文所推導(dǎo)的剛度計(jì)算公式是正確的。

( 2) 在同樣的尺寸規(guī)格條件下, 與其他三種復(fù)合型柔性鉸鏈相比, 橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)能力、對(duì)載荷的敏感性最優(yōu)。

( 3) 在四種復(fù)合型柔性鉸鏈中, 由橢圓直梁復(fù)合型柔性鉸鏈構(gòu)成的柔性T型聯(lián)結(jié)節(jié)的運(yùn)動(dòng)能力、對(duì)載荷的敏感性最優(yōu)。